Métodos numéricos y SOLIDWORKS Simulation
Si alguna vez has utilizado las herramientas de simulación de SOLIDWORKS habrás escuchado términos como “convergencia”, “iteraciones”, “métodos numéricos”. En esta entrada del blog te explicaré a que se refieren estos conceptos.
Los softwares de Simulación se basan en el uso de métodos numéricos para resolver los fenómenos. Todos los fenómenos en la naturaleza son posibles de modelarse a través de ecuaciones, las cuales pueden ser desde muy simples hasta muy complejas. Los métodos numéricos son estrategias que nos ayudan a resolver ecuaciones complejas a través de caminos alternativos, más sencillos. Uno de los más conocidos, y que utiliza SOLIDWORKS Simulation, es el método de Newton Raphson.
Explicaremos esto a través de un ejemplo:
Intentaremos resolver la siguiente ecuación:
Esta ecuación bien puede resolverse por factorización, sin embargo utilizaremos el método de Newton-Raphson, el cual se define como:
Lo explicaremos por pasos:
- El método requiere un valor inicial de prueba “Xn”, este valor lo elegimos a nuestra conveniencia, ¿3?, ¿10?, ¿8?… elijamos 5…
- Al valor inicial prueba hay que restarle el cociente de la función y su primera derivada, ambas evaluadas con el valor inicial.
Sustituyendo obtenemos:
Esta primera solución que hemos hecho la conoceremos como nuestra iteración 1. - El valor que se ha obtenido (3.3918), se convertirá en nuestro nuevo valor prueba. Por lo que evaluaremos el método de Newton-Raphson con este mismo valor:
4.Observa que ahora hemos obtenido de la iteración 2 el valor de 2.3585, el cual será nuestro nuevo valor.
5.Este proceso lo repetiremos de forma continua hasta que el valor se estabilice.
Observa la siguiente animación donde hemos ocupado una calculadora científica.
Hemos aprovechado la funcionalidad de la tecla ANS para retroalimentar el valor:
Observa como a partir de la 6ta iteración el valor que reporta la calculadora deja de cambiar en las primeras 4 cifras decimales. Por más que sigamos retroalimentando al sistema, el valor de 1.3247 no cambiará, permanece estable… el método llegó a la convergencia.
Si graficamos los resultados contra las iteraciones podrás notar que a partir de la 6ta iteración la respuesta se estabiliza, permanece constante.
Para conocer la solución de la ecuación, hemos utilizado WolframAlpha.
Esta ecuación tiene 1 solución real, ¡Y es la misma que encontramos con el método de Newton-Raphson! Como podrás deducir, el método solo encuentra soluciones en el campo de los números reales.
Este proceso iterativo de solución de ecuaciones es muy similar al que lleva a cabo SOLIDWORKS en sus soluciones de Simulación. Si alguna vez has ejecutado análisis en SOLIDWORKS Flow Simulation habrás notado que despliega gráficos de convergencia, como el siguiente:
Ahora ya comprendes a que se refieren las “iteraciones” y la “convergencia”, conceptos muy importantes en los análisis de elementos finitos.